解りにくい MKSA 単位系となった理由と経緯

抵抗:`ohm = meter `kg `sec^-3 `ampere^-1 の単位次元は、式を弄くりまわし辻褄合わせにより導けます。ても辻褄合わせでは物理概念として理解・体得したことになりません。SI 単位系の表に抵抗の単位次元が meter `kg `sec^-3 `ampere^-1 と書いてあっても、日常的には `ohm=`volt/`ampere で考えています。この飛躍に納得できる説明ができなければ MKSA 単位系での抵抗概念を正しく理解・体得したことになりません。(`ohm = `volt/`ampere の理解で正しいことを後で説明します。)

力 1`newton 物理量概念の体得・理解

電磁量の単位系とは無関係な話ですが、1`newton の力は、地球上で一個のりんごに働く引力と概ね同じ大きさの力です。Robertson おじさんも洒落た名前の付け方をするものです。

単位の付いている物理量は、1`newton:一個のりんごの重力による力のように自分の五感で感じられるレベルで理解すべきです。一方で電磁量は見えません。直接五感で感じられません。でも数値実験を繰り返しているうちに、電磁量も 1`newton と同程度に体得できる物理量になってきます。電磁気学を理解するためには、公式文字列を弄繰り回すだけでなく、具体的な装置に近い数値計算も必ず並行して行ってください。

その数値計算を行うとき sf が便利です。こちらも御試しください。

emu/absolute unit system

emu unit system は absolute unit system と呼ばれることもあります。最初に定められた電磁量の単位系ですが、奇麗にまとまっており理解しやすい単位系です。MKSA 単位系も殆ど同じ筋立てで構成されます。ただし MKSA 単位系は実用単位系 Practical Unit System への妥協と有理化の二つが入り込みます。その分だけ解り難い単位系です。まず単純な emu 単位系で、電磁量の理論的定め方を理解しましょう。

absolute の意味

absolute 単位系は数学者として有名な F. Gauss に始まります。電磁単位系を質量、長さ、時間のみから理論的に定めることを意味します。「指定ゲージ,指定長さの電信線の抵抗、標準電池の電圧などの特定物質にしない電磁単位の定義である」ことを意味します。

全くの推測ですが absolute の形容詞には価値判断も入っていると思います。価値判断を含めなければ natural unit system とでもするはずです。Gauss の気持ちを下世話に代弁してみます。「俺の定めた absolute 単位系は自然：神の意志に沿ったものだ。人間の使っている電信線などを基準にしてない。どうだ。」---- 皆様はどのように思われるでしょうか。

emu 単位系 absolute unit system

emu unit system は F. Gauss の考え方を受け継ぎました。1863 年に British Association Unit で J. C. Maxwell が中心となって定めました。MKSA 単位系も emu 単位系の考え方の多くを受け継いでいます。MKSA 単位系を理解・体得するには、大多数の方にとって emu 単位系の理解から始めたほうが楽な道筋です。emu 単位系で記述する Maxwell 方程式のほうが単純だからです。

なお emu 単位系での単位電流／電圧／抵抗値は abampere／abvolt／abohm で表現されます。

emu unit system での電流定義

単位電流とは 1`cm だけ離れた、並行する二本の直線電流 1`cm あたりに 2 dyne の力が発生する電流である
    ---- 1 abampare の定義 ----

div E = `c^2 4π ρ ------------------ (emu-1)
div H = 0 ---------------------------- (emu-2)
rot E = -1 ∂H/∂t ------------------- (emu-3)
rot H = 4π j + 1/`c^2 ∂E/∂t ------- (emu-4)
物質内 H = 空間 H + 4π M ------------ (emu-5)
物質内 E = 空間 E + 4π `c^2 P ------- (emu-6)

Lorentz 力 dF = ρ E + I dl x H ------ (emu-7)

     力学量の世界             Lorent 力                             電磁量の世界        
 F = m α                     F = q E + j x H                    四つの Maxwell 方程式   

(`meter,`kg,`sec) の基本単位    運動する電荷と <E,H> の間に         div E = c^2 4π ρ
物理量と組み立て単位物理量の    働く 力                             div H = 0
世界                                                                rot E = -1 ∂H/∂t
                                                                    rot H = 4π j + 1/c^2 ∂E/∂t

                        図 Lorenzt 力による力学量と電磁気量の接続

    q  = ∫ I dt
    dH = q v × r/abs(r)^3
    F = 2 I I'/abs(r)

    F Δl = q E Δl  <==> ΔE = q ΔV

単位電圧とは単位電荷に 1erg = 1`cm^2 `gram `sec^-2 のエネルギーを与える電位差である
    ---- 1 abvolt の定義 ----

1 erg = 1 abcoulomb * 1 abvolt
[1 `cm^2 `gram `sec^-2] = [1 abcoulomb]* cm^0.5 `gram^0.5
∴ [1 abcoulomb] = `cm^1.5 `gram^0.5 `sec^-2

[R] = [V/I] = cm^1.5 `gram^0.5 sec^-2 /(`cm^0.5 `gram^0.5 `sec^-1) 
    = `cm `sec^-1

でも `ampere や `volt が基本単位として理解されている現在の視点から見直し、同時に力学量のみで電磁単位系を表示するという制限も満たすために erg と dyne^0.5 を導入してやると emu 単位系の物理的意味を明確にできます。元々の電流定義は二本の直線電流の間に働く単位長当たりの力が I^2/r に比例することで行いました。ならば電流の単位次元は dyne^0.5 と見なせます。電荷：∫Idt の単位次元は dyne^0.5 `sec になります。一方で ΔE =fΔL = q EΔL = q ΔV から電圧の単位次元は erg (dyne^0.5)^-1 `sec^-1 になります。これらを組み合わせ、主だった電磁量の単位次元を下のように表せます。

上の表を見ていると `kg が現れてこないことに気付きます。磁場の世界は `cm `sec と abampere (力学量で absolute に表せば dyne^0.5ｮ の組み合わせで記述される世界であることが解ります。電場の世界は `cm `sec と abvolt (力学量で absolute に表せば erg (dyne^0.5)^-1 `sec^-1)の組み合わせで記述される世界であることが解ります。抵抗は磁場の世界と電場の世界の両方に繋がる網目の間にある物理量：単位であることも解ります。

電場系の単位と磁場系の単位の接続

emu 単位系では、Lorentz 力により単位電流と単位電圧を absolute に定義したために、電場系の世界と磁場系の世界をを等式で結び付けようとするとき、光速度 `c の 換算係数が入り込む様子を erg と dyne^0.5 を使った電磁量の単位次元表記を使って見てみましょう。

emu 単位系での 基本単位と組立単位

abampere と abvolt 基本単位から始まる電場／磁場の世界の組立単位網を下のように表現できます。電場と磁場の世界をまたが基本単位である電流から組み立てられた磁場の時間変化と基本単位である電圧との間に電磁誘導の法則が成り立ちます。

そして基本単位電流:(dyne)^0.5 基本単位電圧:erg (dyne^0.5 `sec)^-1の単位次元を使うと div E = c^2 4 `π ρ に出てくる係数 c の単位次元が速度であることが、下のように簡単に導けます。

[div E] = c^2 [ρ]
    ↓↑
(abvolt/`cm)/`cm = c^2 (abampere `sec)/`cm^3
    ↓↑
erg (dyne^0.5 `sec)^-1 `cm^-2  = c^2 dyne^0.5 `sec `cm^-3
∴
erg `cm^-2 = dyne `cm^-1 = c^2 (dyne^0.5 `sec)^2 `cm^-3

∴ [c^2] = cm^2 `sec^-2 = `[cm/`sec]^2

一方で MKSA 単位系では 4`π `c^2 と 1 は `ε0/`μ0 は誘電率/透磁率の単位次元になってしまいます。速度^2 の単位次元や無次元ではなくなってしまいます。MKSA 単位系では、電場系の物理量と磁場系の接続が div E = `c^2 4`π ρ の陽に現れる式ではなくなります。 D = `ε0 E の側に隠されてしまいます。div D = ρ では電場系の物量と磁場系の物理量の関係式であることが隠れてしまいます。1`meter 離した 1`coulomb の電荷どうしに働く力が 90 億`newton であることが見えなくなってしまいます。`coulomb が ∫I dt で表される電流・磁場系の単位であることが認識されていれば、電荷どうしに働く電場系の力を求めるとき c^2 が入ってきて極端に大きな値になることが直感的に分るのですが、それが `ε0, `μ0 で隠されてしまいます。この意味で MKSA 単位系は電磁気学を理解するためには不適切です。ですから自前の単位系を導入する電磁気の教科書が何冊も書かれることになります。

今までの議論から下のことに同意してもらえると思います。

• volt と `ampere を基本単位とする電磁量の世界が独立して存在しており、 Lorentz 力で力学量の世界と繋がっているとみなせます。
• 単位次元の側面から見ると、「電流と力：[`ampere^2] = dyne」と「電圧とエネルギー/電荷：`volt=[erg]/(abampre `sec)」で、電磁量の世界と力学量の世界が繋がっているとみなせます。
• 電流の単位系の世界と電圧の単位系の世界が <4`π `c^2, 1> の変換係数で結びつきます。

Practical Unit System: 実用単位系

J.C Maxwell が emu 単位系を定めた 1863 年には、既に電圧／電流／抵抗の電磁量は Ohm の法則によって理解されていました。それで実務設計がなされていました。既に大西洋を横断する通信線さえ敷設されていました。でも電磁単位系が統一されていませんでした。そのために大西洋横断通信ケーブルでは大きなトラブルが発生したりしていました。まだ Maxwell 方程式はできておりません。

通信装置の仕様を定めたエンジニア達は、既に存在している電池により電圧量の概念を把握していました。数マイルの長さの通信線の抵抗値として抵抗量の概念を把握していました。モールス符号受信機の鉄片を引き付ける電流量の概念を把握していました。この三つの量をオームの法則で組み合わせて、モールス通信装置を設計していました。

    1abvolt = 1e-8 `volt ---- 電波がマイクロ `volt/`meter で扱われます
    1abohm = 1e-9 `ohm ------ こんな小さな抵抗値を使うのは超伝導での残留抵抗ぐらいです

元々 `volt, `ohm, `ampere は物理量の単位ではなく、現在の Mega/Giga などと同様な、absolute 単位に対し桁数を表す符号だったそうです。ここに次のように書いてあります。「When units called ohm, ampere, and volt were introduced to satisfy practical needs of electrical engineers, they were meant to be integral multiples of the corresponding em units. Thus, one ohm was meant to be 10^9 em units of R, one ampere was meant to be 10^-1 em units of I, and one volt was meant to be equal to 10^8 em units of potential difference,」訳してみます。「ohm ampere volt の呼称は電気エンジニアたちによる実用性の要求に配慮して導入されました。それらは emu 単位系の単位抵抗／電流／電圧に対する桁数倍を意味していました。1 ohm は emu 単位抵抗の 10^9 倍を意味していました。ampere は emu 単位電流の 10^-1 を意味していました。1 volt は emu 単位電位差の 10^8 を意味していました。」

上の英文は `volt, `ohm, `ampere が桁数の意味だったと書いていますが、当時のエンジニア達は `volt, `ohm, `ampere を最初から practical な意味での単位だと解釈していたと推測されます。まだ Maxwell 方程式もできていない時代に、J. C. Maxwell が定めた学術的な absolute 単位系の意味が、Ohm の法則で考えている当時のエンジニア達に的確に理解されたとは思えません。``cm^0.5 `gram^0.5 `sec^-1 と表される電流の単位次元が実務畑のエンジニアに受け入れられたとは思えません。(T.A. Edison は交流理論を理解できなかったそうです)エンジニア達の共通言語としての practical な単位電流、単位電圧、単位抵抗を学者達が決めてくれたから、それを実務で使っただけでしょう。そのとき直ぐに`volt, `ohm, `ampere は桁数の意味ではなく単位の意味と解釈されるようになったと私は推測します。皆様はどう考えますでしょうか。

ここで `ampere が 1/10 の意味であったことに二つの意味で注目せねばなりません。一つは MKSA 単位系における 2e-7 `newton が導かれることです。 もう一つは emu 単位系を定めたときに Maxwell が 抱いていた電磁単位量の把握の仕方が伺えることです。

当時の通信線の設計で使っていた電圧値/抵抗値/電流値に合わせて 1`volt==10^8 abvolt, 1`ohm==10^9 abohm, 1`ampere==10^-1 abampere を選択したことは、MKSA 単位系で `gram ではなく `kg を選択さざるをえなかったことに繋がります。1`volt の電圧で 1`ampere の電流を流したとき、一秒あたりに発生するエネルギー：発熱量は 1`volt * 1`ampere = 1watt = 1`joule/`sec です。1`joule = 1`newton `meter/`sec = 1`kg `meter^2 `sec^-3 です。ですから Practical Unit System: `volt, `ampere を使ってモーターや発電機などを設計するとき `meter `kg `sec を使って力やエネルギーを表現しておかないと、余分な比例係数に付きまとわれます。先に示した電磁気年表で「 1863 年 emu 単位系 ---> 1889年 `joule の単位 --> 1904 年 `newton の単位」と MKSA 単位でも使われる単位が導入されていく様子が、この推測を裏付けてくれます。(ちなみに 1 abvolt * 1 abampere = 1 erg/sec です) もし J.C. Maxwell が abampere に拘って practical `volt == 10^9 abvolt を選択していたら MKSA 実用単位系は違った形になったでしょう。`meter, decaKiloGram, `sec 単位系などとなったのでしょうか。それとも三桁刻みにならないため、比例係数を使いながら cgs 単位系でモーターや発電機の設計を続けたのでしょうか。皆様はどのように考えますでしょうか。

MKSA 単位系への準備

MKSA 単位系に移る準備のため、電流定義での力が 2 dyne ではなく k 倍の力：2 k dyne となったときを考えてみましょう。すなわち単位電流が k^0.5 倍になった新しい単位系の世界での Maxwell 方程式を考えましょう。(なお、ここで k は物理的には無次元の比例係数であることを覚えておいてください。後の MKSA 単位系での `ε0, `μ0 の単位次元の議論で、ここでの話を生し返します)

直線電流同士の間に働く力が 2 k dyne であり

    F = 2 k I I'/!abs(r)

        dH = dI × r/(!abs(r)^3 )    # dH, dI, r は vector

一方で Δエネルギー = q V ですから、単位電流量が k^0.5 倍になると単位電圧量は k^-0.5 倍になります。単位電場量も同様に k^-0.5 倍になります。ですから新単位系で数値化した電圧/電場値を、元の emu 単位系での値にするには、新電圧／電流を k^-0.5 することになります。

新単位系で数値化したとき、それに k^0.5, k^-0.5 倍を掛けて emu 単位で値にしたときに Maxwell 方程式を満たすので、新単位系で表した電磁量は下の方程式を満たします。

div k^-0.5 E newVolt/`meter = 4`π c^2 k^0.5 ρ newCoulomb
∵ k^-0.5 E newVolt/`meter == E abvolt/`cm
   k^0.5 ρ newCoulomb     == ρ abcoulomb

H も I と同様に k^0.5 倍されます。
dH newWeber/`cm^2 = dI newAmpere × r/!abs(r)^3

即ち
rot k^-0.5 H newWeber/`cm^2 = 4`π k^0.5 j + 1/`c^2 k^0.5 ∂(E newVolt/`cm)/∂t

すなわち直線電流に働く力 2 k dyne で単位電流量を定義した新電磁単位系で記述した電磁量の数値の間には下の Maxwell 方程式が成り立つことになります。また点磁荷が r の位置に作る磁場 H の強さが H = qm/r^2 であることより磁荷の数値も H と同様に k^-0.5 倍に変化して測定されます。M も H と同様に k^-0.5 倍に変化します。元の Maxwell 方程式での電磁量の関係式を満たしつづけるためには M を k^0.5 倍にしてやらねばなりません。ここで M を磁場 H を生成する磁荷の意味で Mh と表すようにしておきます。MKSA 単位系では磁場とは別の単位次元を持つ物理量として磁束密度が導入され、磁荷も磁束密度を生成するものと大きく変えられるためです。

div k^-0.5 E = 4`π c^2 k^0.5 ρ ------------------------ (kemu-1)
dir k^0.5 H =  0 ---------------------------------------- (kemu-2)
rot k^-0.5 E = -k^0.5 ∂H/∂t --------------------------- (kemu-3)
rot k^0.5 H =  4`π k^0.5 j + 1/(c^2) k^-0.5 ∂E/∂t ---- (kemu-4)
物質内 k^0.5 H = 空間 k^0.5H + 4π k^0.5 Mh ------------- (kemu-5)
物質内 k^-0.5 E = 空間 k^-0.5 E + 4π c^2 k^0.5 P ------- (kemu-6)

dF = ρ E + I dl x H ------------------------------------ (kemu-7)
dH = dI × r/!abs(r)^3          # dH, dI, r は vector

同じ式ですが、もう少し MKSA 単位系での Maxwell 方程式に近い形式で表します。

div 1/(4`π c^2 k) E =  ρ ------------------------------ (kMKS-1)
dir k H =  0 -------------------------------------------- (kMKS-2)
rot E = -k ∂H/∂t -------------------------------------- (kMKS-3)
rot 1/(4`π) H =   j + 1/(4`π c^2 k) ∂E/∂t ----------- (kMKS-4)
物質内 H = 空間 H + 4π Mh ------------------------------ (kMKS-5)
物質内 1/(4`π `c^2 k) E = 空間1/(4`π `c^2 k) E + P ---- (kMKS-6)

dF = ρ E + I dl x H ------------------------------------ (kMKS-7)
dH = dI × r/!abs(r)^3          # dH, dI, r は vector

      k は無次元の比例係数
------------ 2k dyne の力で定義した電磁単位系で成り立つ Maxwell 方程式 ----------

上の式で k は無次元の比例係数です。単位距離だけ離した直線電流の単位長さ当たりに働く力を 2 k dyne としたからです。このことを MKSA 単位系を論じるときに使います。

MKSA 単位系

「2k dyne の力で定義した電磁単位系で成り立つ Maxwell 方程式」は 2k `newtonの力で定義した電磁単位系で成り立つ Maxwell 方程式と読み直せます。MKSA 単位系で k は 1e-7 の無次元数です。電圧は `joule = q [`coulomb] V [`volt] より定めます。これに有理化とε0 μ0 を追加してやれば MKSA 単位系になります。でも MKSA 単位系では μ0 を無次元の比例係数から単位次元付きの係数にします。電磁量の単位次元の解釈を変えてしまいます。これが MKSA 単位系を解り難くしています。

有理化

有利化とは Maxwell 方程式から 4`π の係数をなくすことです。点電荷が r だけ離れた位置に作る電場の強さを q/(4π r^2) と比例するとみなすことで、 Maxwell 方程式から 4π を無くすことと等価です。 div 1/(4`π c^2 k) E = ρ は点電荷が単位距離の位置に作る電場が下の式で表されること等価です。

div 1/(4`π c^2 k) E =  ρ 
    ↑↓
E(r) = q r/(4`π c^2 k) abs(r)^3 # r は vector

電場と同様に磁場についても微小電流が作る磁場が dH = dI × r/(4`π!abs(r)^3) 比例するとして有利化してやります。磁場 H の数値が 1/(4`π) 倍だけ小さくなるわけです。Maxwell 方程式上では H が 4`π 倍だけ大きくしてやることで物理量の関係式を普遍に保ちます。下の Maxwell 方程式になります。

div 1/(4`π c^2 k) E =  ρ ------------------------------ (rkMKS-1)
dir (4`π k H) =  0 ------------------------------------- (rkMKS-2)
rot E = -∂(4`π k H)/∂t ------------------------------- (rkMKS-3)
rot H =   j + 1/(4`π c^2 k) ∂E/∂t -------------------- (rkMKS-4)
物質内 (4`π H) = 空間 (4`π H) + 4π Mh ---------------- (rkMKS-5)
物質内 (4`π k H) = 空間 (4`π k H) + 4`π k Mh --------- (rkMKS-5')
物質内 1/(4`π `c^2 k) E = 空間 1/(4`π `c^2 k) E + P --- (rkMKS-6)

dF = ρ E + I dl x 4π k H ------------------------------ (rkMKS-7)
4`π k dH = 4`π k dI × r/(4`π!abs(r)^3)                # dH, dI, r は vector

注意：k は無次元の比例係数

      2k `newton の力で定義した電磁単位系で成り立つ Maxwell 方程式 1

有利化

有利化とは q/r^2 よりも div E = ρ のほうが本質的だととみなすこと等価です。点電荷が r の位置に作る電場の大きさが q/(4`π r^2)と見なすことと等価です。下の三つの式が等価だからです。

     div E = ρ
        ↑↓
     4 `π r^2 E(r) = Q
        ↑↓
     E(r) = Q/(4 `π r^2)
        ↑↓
     V(r) = Q/(4 `π r)

「2k `newton の力で定義した電磁単位系で成り立つ Maxwell 方程式」で ε0 = 1/(4`π `c^2 k), μ0 = 4`π k, M = 4`π k Mh と置いてやれば殆ど MKSA 単位系で記述した Maxwell 方程式です。

div `ε0 E =  ρ ------------------------------------ (rMKS-1)
dir `μ0 H =  0 ------------------------------------- (rMKS-2)
dir H =  0 ------------------------------------------ (rMKS-2')
rot E = -∂(`μ0 H)/∂t ----------------------------- (rMKS-3)
rot H =   j + ∂(`ε0 E)/∂t ------------------------ (rMKS-4)
物質内 (`μ0 H) = 空間 (`μ0 H) + M ----------------- (rMKS-5')
物質内 ε0 E = 空間 `ε0 E + P ---------------------- (rMKS-6)

dF = ρ E + I dl x 4π k H -------------------------- (rMKS-7)
`μ0 dH = `μ0 dI × r/(4`π!abs(r)^3)                # dH, dI, r は vector
但し `μ0 = 4`π k, `ε0 = 1/(4`π c^2),  k = 1e-7

注意：μ0 は無次元であり `ε0 は 「1/速度の自乗」の単位次元を持つ比例係数
      2k `newton の力で定義した電磁単位系で成り立つ Maxwell 方程式 2

上の式で B = `μ0 H, D = `ε0 E と置き換えれば MKSA 単位系における Maxwell 方程式と瓜二つです。でも `μ0 は無次元の比例係数です。ただ電磁誘導により磁場 H の時間変化が電圧を発生させるとき B = `μ0 H = 4`π k H と `μ0=4`π k 倍だけ大きくした磁場を使うとしている点で MKSA 単位系での Mawell 方程式と異なっています。まだ `μ0 は無次元の比例係数です。

div D =  ρ ------------------------------------ (MKS-1)
dir B =  0 ------------------------------------- (MKS-2)
rot E = -∂B/∂t ------------------------------- (MKS-3)
rot H =   j + ∂D/∂t -------------------------- (MKS-4)
B = `μ0 H + 4`π k M -------------------------- (MKS-5)
D = `ε0 E + P --------------------------------- (MKS-6)

dF = ρ E + I dl x 4π k H --------------------- (MKS-7)
`μ0 dH = `μ0 dI × r/(4`π!abs(r)^3)                # dH, dI, r は vector
但し `μ0 = 4`π k, `ε0 = 1/(4`π c^2),  k = 1e-7

注意:まだ `μ0 は無次元であり `ε0 は 「1/速度の自乗」の単位次元を持つ比例係数です。
         MKSA 単位系直前の電磁単位系で成り立つ Maxwell 方程式

上の組立単位網で、電場側の電圧 `volt が `ampere と同様に基本単位であることと B が電場側の組立単位であることを確認ください。rot E = - ∂B/∂t と無次元の -1 で B と E(`volt/`meter) の微分が等号で結ばれているからです。そして「電圧基本単位からの組み立て単位の電場」と「電流基本単位からの組み立て単位：`coulomb と Coulomb の法則:q/r^2 から作られる」電場との比として `ε0 が定まること、同様に B と H の比として `μ0 が定まることに注目ください。これから `ε0 `μ0 の単位次元が定まります。

`ε0 と `μ0 の単位次元を導く

辻褄合わせによる `μ0 の単位次元の導き方

μ0 の単位次元を、二本の直線電流の間に働く力の公式 f `newton/`meter= `μ0 I^2/r から `[μ0] = `newton ampere^-2 と導く方が多くいます。でも、このように陰な `μ0 の単位次元の導き方は辻褄合わせです。陰な導き方のため。物理的意味が不明確になってしまいます。

• `μ0 は透磁率です。でも透磁率と `newton ampere^-2 == `meter `kg `sec^-2 `ampere^-2 の物理的意味が繋がりません。
• 組み立て単位は基本単位から順次導いていくことで、物理量として理解していくものです。 B = `μ0 H で透磁率 `μ0 を定義するのならば、先に B と H の単位次元を組み立てて、その後に μ0 の単位次元を導かねばなりません。

物理的意味が不明確なまま、あって欲しい結果の側から陰に導いた [`μ0 ] == `meter `kg `sec^-2 `ampere^-2 で済ましているのでは、透磁率の単位次元を物理的に理解したとは言えません。常に単位系の表を持ち歩いて、それで参照しながらでないと物理式の正しさが確認できない段階のままです。物理式で単位次元の誤りが入り込んでいないかをコンピュータ・ソフトに頼って判断してもらうようになってしまいます。

基本単位からの連鎖を辿って `μ0 の単位次元を陽に導く

ここでは `μ0 の単位次元を陽に導きます。基本単位から始まる道を辿って `μ0 の単位次元を導きます。B と H の組立単位を基本単位 `volt, `ampere から導き、B = `μ0 H の元の定義から `μ0 の単位次元 [B/H] を導きます。

MKSA 単位系では、下のような磁束の時間変化と発生電圧の間に余分な比例係数 k が出ないように磁束の組み立て単位 `weber を新た導入しました。

rot E = -∂B/∂t
    ↑↓
発生電圧:`volt = ∫E dl = ∂(∫Bds)/∂t = dΦ/dt

ですから `weber は電場側の組み立て単位であり `volt `sec の単位次元を持ちます。また磁束 `weber は磁荷を表す単位にもなります。

一方で H は磁場側の物理量です。dH = dI/(4`π r^2) = Idl/(4`π r^2)です。ですから [H] = `ampre `meter^-1 です。B と H の単位次元が導ければ `μ0 の単位次元は陽に定まります。

B = `μ0 H ですから [`μ0] = [B/H] = `weber `meter^-2/(`amper `meter^-1) です。物理的意味は [磁束密度／磁場]です。`コイルの組立単位 [henry] = `weber/`ampere より [`μ0] = henry/`meter とあらわすこともあります。μ0 = 4`π k, k = 1e-7 です。`μ0 = 4`π 1e-7 == henry/meter です。

div B = ρm
    ↑↓
B = Qm/(4`π r^2)
    ↑↓
H = Qm/(4`π `μ0 r^2)

div D = ρ
    ↑↓
`ε0 div E = ρ
    ↑↓
E = Q/(4`π `ε0 r^2)
∴
[`ε0] =  `coulomb/(`meter^2 [E])
       =  `coulomb/(`meter^2 `volt/`meter)
       =  `coulomb/(`meter `volt)
       =  `farad/`meter = (`coulomb/`volt)/`meter

MKSA 単位系の組立単位網全体をイメージとして思い浮かべられるられるのは `meter `kg `sec `ampere `volt のときに限られると、私は考えます。皆様は如何でしょうか。

MKS `ampare `volt 単位系が MKSA 四つの基本単位だけでの単位次元表記を採用する理由

上で MKSA 単位系は、MKS `ampere `volt 単位系だと書きました。一方で SI 単位系の規格書の単位の一覧表には、下のような `meter `kg `sec `ampere 四つの基本単位を使った単位次元表記が書かれています。この四つの基本単位だけによる組立単位の表記は素人向けの便法だと、私は考えます。皆様は如何考えますでしょうか。

MKSA 単位系が物理量の単位次元を MKS + `ampere 四つの基本単位の組合せで表現するのは、素人向けに単純化したいためだと、私は考えます。SI 規格書では `volt などを含んだ単位系で表示しても良いとしています。この文章の意味は「電磁気学を理解している専門家はは物理的意味を明示する `volt などを含んだ物理的意味を表現する単位系で表示すべき」であると私は解釈します。

SI 単位系の規格書は結果を纏めてあるだけで、説明しません。理由を書きません。SI 単位系の規格書が書かれた目的は、物理量の表現を全世界で共通にすることです。。その文書の中で、現行のように単位系を定めた理由や その理論的な背景をを説明していては SI 単位系の規格書が冗長になってしまいます。

そもそも SI 単位系の規格書を読むのは物理学者だけではありません。その規格書を読む方達のうち Mawxwell 方程式を理解している方は一割もいないでしょう。そのような規格書の中で `meter `gram `sec ではなく `meter `kg `sec を採用した理由を説明しても、大多数の読者には混乱を与えるだけでしょう。ましてや磁束：weber の単位を volt sec で表すか `meter^1.5 `kg^0.5 `sec^-1 で表すかなんて、大部分の SI 規格書の読者にとって、どちらでも構わない問題でしょう。

MKSA 単位系を MKS `ampere `volt 単位系と考え直してみても、コンデンサ容量は `coulomb/`volt と表すべきです。`ampere `sec/`volt でも物理的意味を表していますが、`coulomb/`volt に比較したら不自然です。でも `weber や `coulomb などの単位系を理解しておくべき技術者は限られます。ならば `coulomb `volt のような単位次元表記は SI 単位系規格書の中でも限った場所で使うべきでしょう。全体を通しての表記としては `meter `kg `sec `ampere の四つにしておくほうが SI 規格書を誰にでも読めるものとできます。

知っておくべき単位の種類を最小にしようとしたとき、物理量の単位次元表示のしかたは MKS + `ampere 四つの基本単位の組合せ表記になります。MKSA の四つがあれば全ての物理量の単位次元を重複無しに表記できます。MKSA を使えば抵抗の単位次元表記を `meter `kg `sec^-3 `ampere^-1 にできます。これでは `volt/`ampere のような物理的意味を表せていませんが、抵抗の単位次元を MKS だけで表したときの `meter/`sec (これは速度の単位次元でもあります) のように重複はしません。重複しなければ、MKSA 単位次元表記は物理量の次元解析には使えます。この意味で大部分の SI 単位系表示は MKSA で表記しておけば、単位系としての最低限の機能は果せます。なんせ重複がないのですから。

SI 単位系の策定者たちは「できるだけ多くのユーザーに SI 単位系を使ってもらうために、単純な MKSA 四つの基本単位を使った単位次元表記も一覧表に載せておこう。抵抗の単位次元であっても `meter `kg `sec^-3 `ampere^-1 と表しておけば、四つの基本単位を覚えるだけで済む。物理的意味を理解している専門家ならば、抵抗の単位次元は勝手に `ohm や `volt/`ampere で表記するだろう。」と考えたと私は思っています。その証拠に、電磁量ではないニュートン力学の圧力量でも `newton/`meter^2 の単位次元表記と `meter^-1 `kg `sec^-2 の二つを SI 単位系は同居させているのですから、電磁量でも 圧力Pa と似たことを大規模に行っているだけでしょう。

でも私は長い間 SI 単位系の規格書を このように大胆に読み直せませんでした。 `meter `kg `sec^-3 `ampere^-1 の単位次元表記を見せられとき、抵抗であることを直感的に解らない自分が悪いと思っていました。MKS `ampere `volt 単位系であることが解っておらず、その結果として電磁量の体系網をイメージできていないので、`meter `kg `sec^-3 `ampere^-1 の単位次元表記が素人向けであるとは読み取れませんでした。

このような誤解は私だけではないでしょう。皆様は如何でしょうか。

最後に

以上のように、電圧も電流と同様な基本単位とすることで、電場側の組立単位、磁場側の組立単位、両者の間に入り込んでくる組立単位の物理量の道筋が、力学量でのときのように明晰に見えてきます。その物理量と単位系の導き方は、常に下流側に流れていきます。常に単純な線形関係で繋がっていきます。0.5べき乗は最初の電流基本単位の absolute な導出のときに出てくるだけです。

MKSA 単位系は、合理的な emu 単位系に Practical Unit System からの捻りを加えた単位系です。emu 単位系の理解から始めたほうが、容易に MKSA 単位系全体を見渡せます。`volt も電流と同様な基本単位であることが明確になります。

このような意味で MKSA 単位系は MKS `ampere `volt 単位系です。MKSA 単位系の言葉に引っ張られて `meter `kg `sec `ampere の単位次元で表しても、その物理的意味は明確になりません。それは `meter `kg `sec `newton^0.5 で表しているにすぎません。emu 単位系の `cm `gram `sec で表したときは大差ありません。それでは電磁量を理解・体得することは無理です。`meter `kg `sec `ampere `volt 単位系と考えることで、電磁量全体を基本単位から組立単位の全ての道筋を明晰なイメージとして掴めるようになります。MKSA の呪縛に囚われ無駄に時間を浪費する、昔の私のような学習者が減ることを望んでいます。